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29 Março 2024

Metodologias e Estratégias

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II.1 Determinação experimental da DTR
II.1.1 A perturbação em impulso
II.1.2 A perturbação em degrau
II.2 A DTR em factores ideais
II.2.1 Reactor contínuo perfeitamente agitado - RCPA
II.2.2 Reactor tubular com escoamento pistão
II.3 A DTR em reactores de escoamento não ideal
II.3.1 Modelos de reactores em cascata
II.3.2 Modelo pistão dispersivo
Bibliografia 

 

II.1 Determinação experimental da DTR

A técnica estímulo/resposta implementada através da introdução de um marcador, e ilustrada na Figura 2, pode utilizar um estímulo aleatório. No entanto, o tratamento matemático dos resultados obtidos com este tipo de perturbação envolve cálculos mais complexos que a aplicação de perturbações na forma de um impulso ou um degrau. Assim, e uma vez que estas perturbações são as mais utilizadas, iremos debruçar-nos sobre estes casos.

 

II.1.1 A perturbação em impulso

A função impulso unitário, δ(t), é definida como:

 

 Formula (10)

com

 Formula (11)

A nível experimental a sua implementação exige a introdução instantânea, ou o mais rápido possível, de uma quantidade de marcador, m (gramas ou moles), e o registo da concentração deste marcador à saída do sistema ao longo do tempo, Cs(t). Este sistema tem um volume V e é atravessado por um caudal Qv.

Aplicando o princípio da conservação da massa, a quantidade total de marcador introduzida, m, pode ser confirmada através do cálculo da área abaixo da curva Cs(t):

 Formula (12)

Por outro lado, a função densidade E(t) está relacionada com Cs(t), Eq.1, e pode escrever-se

 Formula (13)

pelo que as Eqs. 12 e 13 conduzem a

 Formula (14)

o que mostra que, normalizando a resposta a uma perturbação impulso, que deve ser unitário, a função E(t) é obtida directamente.

A função adimensional E(θ) pode ser calculada recorrendo às Eqs. 5 e 8. 

 

II.1.2 A perturbação em degrau

A introdução de uma perturbação em degrau corresponde a, a partir de um dado instante, passar a introduzir um marcador no sistema com uma concentração conhecida, C0, e constante ao longo do tempo. No caso da função degrau unitário a concentração de marcador será igual à unidade. A concentração de marcador à saída do sistema, Cs(t), é medida ao longo do tempo para determinar a função E(t). Neste caso também se considera que o sistema tem um volume V e o caudal é Qv.

Da definição de função densidade, Eq. 1, vem que

 Formula

e, dividindo por C0

 Formula (15)

 

II.2         A DTR em reactores ideais

II.2.1 Reactor contínuo perfeitamente agitado – RCPA

 

No interior de um reactor contínuo onde a mistura é perfeita, ou perfeitamente agitado, a concentração de todos os compostos químicos é homogénea e igual à concentração na corrente de saída.

Para ilustrar a DTR num RCPA vamos recorrer a uma perturbação em impulso (Laboratory experiment: RTD ) e escrever o balanço mássico ao marcador. Como o marcador é introduzido num intervalo de tempo tão curto quanto possível e vai sair no efluente ao longo do tempo, o balanço mássico é descrito pela equação:

 

 Formula 

 

Separando as variáveis e integrando, tendo em consideração que em t=0 foi introduzida um quantidade m de marcador, no reactor de volume V, sendo Formula, vem:

 Formula (16)

Introduzindo este perfil de concentração de marcador à saída do RCPA na Eq. 1 obtém-se:

 Formula (17)

sendo

 Formula (18)

e a forma desta função está ilustrada na Figura 5. 

Por sua vez, aplicando a Eq. 3:

 Formula (19)

O tempo médio de residência é calculado através da Eq. 5

 Formula (20)

confirmando que, num reactor ideal, o tempo médio de residência é igual ao tempo de passagem.

O RCPA é um sistema de primeira ordem caracterizado por dois parâmetros: a constante de tempo, τ, e o ganho estacionário, Kp. Quando é utilizada uma perturbação em impulso o ganho deste sistema é calculado através da equação:

 Formula (21)

 

Função densidade de tempo de residência num RCPA – resposta a uma perturbação em impulso.
Figura 5. Função densidade de tempo de residência num RCPA – resposta a uma perturbação em impulso. 

 

II.2.2 Reactor tubular com escoamento pistão

Num reactor tubular com escoamento turbulento ideal a velocidades de escoamento é constante em toda a secção recta e todas as moléculas ou elementos de fluido que entram num dado instante permanecem no reactor o mesmo intervalo de tempo, que é igual ao tempo de passagem, τ. A partir das características descritas para um reactor com escoamento pistão é fácil perceber que, se no instante t=0 for introduzido um marcador recorrendo a um estímulo em impulso unitário, δ, a análise da corrente de saída mostrará este mesmo impulso no instante correspondente ao tempo de passagem (Laboratory Experiment: RTD).

Formula

 

ou

 Formula 

como a Figura 6 ilustra. 

 

Função densidade de tempo de residência num reactor tubular com escoamento pistão – resposta a uma perturbação em impulso.
Figura 6. Função densidade de tempo de residência num reactor tubular com escoamento pistão – resposta a uma perturbação em impulso.  

 

II.3 A DTR em reactores de escoamento não ideal

Como já foi referido, nem todos os reactores podem ser enquadrados nos dois tipos de escoamento que foram apresentados. Para descrever o escoamento nestes casos reais recorre-se a modelos que podem ser classificados em dois grupos: modelos a um parâmetro (ou dispersivos) e modelos de parâmetros múltiplos (ou modelos combinados). A selecção do modelo a adoptar depende de o reactor exibir um escoamento mais próximo do escoamento tipo pistão ou do escoamento perfeitamente agitado.

No caso dos reactores tubulares não ideais, com ou sem enchimento, duas abordagens conduzem a resultados muito semelhantes: modelo de reactores em cascata e o modelo pistão dispersivo.

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II.3.1    Modelo de reactores em cascata

O modelo de reactores em cascata (MRC) assenta em fazer corresponder ao sistema em estudo uma bateria de N reactores contínuos perfeitamente agitados (RCPAs), em série, todos de igual volume, Vi, sendo o volume da bateria igual ao volume total do sistema, V = N Vi. A DTR permite calcular o número N de tanques em série em que o sistema deve ser subdividido para que a DTR do modelo seja semelhante à do reactor em análise.

Para estudar a DTR do sistema utiliza-se uma perturbação em impulso, no instante t=0, com uma concentração de marcador C0. O tempo de residência é igual para todos os tanques.

 

Um balanço mássico ao primeiro reactor permite conhecer a concentração de marcador à sua saída, C1. De acordo com a Eq. 16:

Formula   e   Formula

Esta concentração C1 é necessária para resolver a equação de balanço ao segundo reactor:

Formula 

 

A solução desta equação diferencial de primeira ordem, com C2(0)=0 é:

Formula   e   Formula

Uma vez que a bateria é constituída por N reactores, este procedimento é aplicado sequencialmente até se obter a concentração de marcador à saída do tanque N. A função E(t) para os N reactores vem

Formula                                     (22)

ou, utilizando Formula:

Formula                                (23)

assim, para o caso limite de N=1, a Eq. 23 vem E(θ)=e, que corresponde à função E(θ) para um RCPA ( Eq. 18).

Quando o número de tanques N é muito elevado, a função E(θ) aproxima-se da função densidade de tempos de residência para um reactor pistão.

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II.3.2     Modelo pistão dispersivo

O modelo pistão dispersivo (MPD) considera que ao transporte por convecção ao longo do sistema acresce um fenómeno de dispersão axial do fluido, que origina mistura. Se o impulso introduzido em t=0 for corado, o que permite ser seguido ao longo do reactor, vai observar-se o seu alargamento progressivo até à saída do reactor. O coeficiente de dispersão axial, D, quantifica este espraiar ou alargamento do impulso.

O modelo pistão dispersivo recorre à lei de Fick para a difusão molecular, para descrever este fenómeno de dispersão segundo a direcção axial. Um balanço ao marcador que é transportado ao longo do reactor tubular de comprimento L, por convecção e dispersão, sendo constantes a velocidade de escoamento, u, e o coeficiente de dispersão, é traduzido pela equação:

Formula 

Recorrendo às variáveis normalizadas Formula, Formula, Formula, Formula, a equação anterior toma a forma:

Formula                                     (24)

O novo número adimensional, o número de Péclet, Pe, traduz a relação entre a contribuição dos mecanismos de transporte considerados neste sistema:

  1. Pe = (velocidade de transporte por convecção / velocidade de transporte por dispersão).

Quando

Formula   o transporte por convecção é muito reduzido e o escoamento pode ser aproximado ao de um RCPA;

se

Formula  o transporte por dispersão é muito reduzido e o escoamento pode ser aproximado ao de um RP.

 

Para resolver a Eq. 24 é necessário definir as condições fronteira. Podem ser consideradas pelo menos duas situações: fronteiras abertas à difusão e fronteiras fechadas à difusão. No primeiro caso não há variação do padrão de escoamento dentro ou fora das fronteiras. No segundo caso este padrão muda nas fronteiras, uma vez que o fenómeno de dispersão só se verifica no seu interior, o que é consentâneo com a definição de sistema no âmbito da DTR. A complexidade da solução matemática depende da abordagem adoptada, sendo mais simples quando as fronteiras são consideradas abertas à difusão. Para obter a solução da equação anterior, que é linear, recorre-se, em geral, às transformadas de Laplace. O rigor e as vantagens dos dois tipos de fronteiras referidos são discutidos nos livros de referência.

Quando o número de Péclet é elevado, a diferença entre as soluções correspondentes a fronteiras fechadas ou abertas é reduzida, tornando-se ainda menos significativa quando comparada com o erro introduzido por uma menos correcta execução da aplicação da perturbação. No entanto, para Pe baixo, a diferença entre as duas soluções aumenta à medida que Pe decresce.

Uma vez que o número de Péclet é um dos parâmetros que se pretende determinar, não é possível, à partida, avaliar o rigor implícito à adopção de um ou de outro modelo.

Dispondo do registo da concentração de marcador à saída do reactor ao longo do tempo, na sequência da introdução de uma perturbação em impulso, é possível construir as curvas E(t),  Eq. 14, e E(θ) e, a partir destas, calcular a variância da distribuição. O número  de Péclet está relacionado com a variância através das seguintes equações:

            Fronteiras fechadas à difusão: Formula

 

Fronteiras abertas à difusão: Formula                     (25)

 

Como foi referido, quando o transporte por dispersão não é muito significativo (Pe elevado), o modelo com fronteiras abertas conduz a bons resultados, sendo a função E(t) é descrita pela equação

Formula                                           (26)

ou, ainda:

Formula

 

Bibliografia

  1. Danckwerts, P. V. (1953). Continuous flow systems: distribution of residence times. Chem. Eng. Sci., 2, 1-13.
  2. Danckwerts, P. V. (1958). The effect of incomplete mixing on homogeneous reactions. Chem. Eng. Sci., 8, 93-102.
  3. Fogler, H.S. (1992). Elements of Chemical Reaction Engineering, 2ª ed., Prentice-Hall International, Inc., New Jersey.
  4. Levenspiel, O. (1999). Chemical Reaction Engineering, 3ª ed., John Wiley & Sons, Nova Iorque.
  5. Levenspiel, O. (2002). Modelling in Chemical Engineering, Chem. Eng. Sci., 57, 4691-4696.
  6. Simões, P. N. N. L. (2006). Introdução à teoria da distribuição de tempos de residência, Imprensa da Universidade de Coimbra.
  7. Zwietering, T. N. (1959). The degree of mixing in continuous systems. Chem. Eng. Sci., 11, 1-15.

Endereços na Internet:
  1. Fogler, H.S. and Gürmen, M.N., Elements of Chemical Reaction Engineering: Distributions of residence times for chemical reactors
  2. Papp, H., Moros, R. and Luft, F., Laboratory experiment: Residence Time Distribution (Cascade)
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