Metodologias e estratégias

Mecanismo de feedback
Exemplo – o problema de controlo de nível de um líquido num tanque
Objectivos de controlo
Sistema em ciclo fechado
Feedback negativo ou feedback positivo?
Mecanismo de feedforward
Lei de controlo
Controlo on-off
Lei de controlo PID – uma história de sucesso
Lei de controlo PID digital
Modo de acção P
Modo de acção I
Modo de acção D
Referências

Análise de Resposta de Frequência
Sistemas de 1.^a ordem
Diagramas de Bode – Sistemas de 1.^a ordem
Diagramas de Bode de sistemas de ordem mais elevada
Diagramas de Bode – Sistemas de 2.^a ordem
Bibliografia

Mecanismo de feedback

Em geral, as estratégias de controlo adoptadas nos meios tecnológicos regem-se pelos princípios subjacentes ao mecanismo de realimentação – designado na literatura anglo-saxónica por feedback mecanism ou, simplesmente, por feedback control. O mecanismo de feedback é um mecanismo extensivamente disseminado na natureza e na tecnologia. Por exemplo, é graças a ele que um mamífero mantém a sua temperatura interna perante variações de amplitude considerável na temperatura ambiente ou que um bípede se mantém na vertical e consegue caminhar sem cair.

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Exemplo – o problema de controlo de nível de um líquido num tanque

Em engenharia subentende-se que o mecanismo de feedback em causa é por defeito negativo. É de salientar que nas ciências sociais os conceitos de feedback positivo e de feedback negativo são empregues com uma orientação distinta do que é prática comum em engenharia tal como se ilustra a seguir.

Figura 1: O problema de controlo de nível de um líquido num tanque.

Consideremos o sistema representado na Figura 1. Trata-se de um tanque que tem como função a de filtrar variações do caudal de líquido F₀ proveniente de uma unidade processual a montante. A motivação para a instalação deste tanque prende-se com a unidade a jusante que tem de ser alimentada com o mesmo líquido e um caudal F₁ constante ao longo do tempo. Esta imposição deve-se ao tipo de fenónemos fisíco-químicos que têm lugar na unidade a jusante, bem como pelo comportamento dinâmico que ela exibe. Por exemplo, essa medida pode ser justificada pelo facto de se tratar de uma unidade cujo funcionamento é facilmente perturbado com variações em F₁, colocando em causa as especificações do produto final do processo industrial.

O tanque foi projectado com dimensões adequadas de modo a, por um lado, conseguir reter o líquido que chega a mais da unidade a montante e, por outro lado, proporcionar líquido suficiente à unidade a jusante no caso em que o caudal F₀ for temporariamente mais baixo. A instalação das unidades é desnivelada de modo a permitir o escoamento do líquido por descarga livre de umas para as outras.

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Objectivos de controlo

Assim, para que o caudal de saída (F₁) do tanque permaneça constante, é necessário garantir que a altura de líquido dentro do tanque – variável controlada h – permaneça constante num valor de referência ou desejado – setpoint h_sp. Ou seja, o principal objectivo de controlo é obter, ao fim de algum tempo, um desvio ou erro ε nulo,

Para alcançar este objectivo o tanque está dotado de uma saída de líquido para um tanque de armazenagem secundário, cujo caudal F₂ é regulado  – variável manipulada – através de uma válvula de controlo. A informação sobre o erro, a diferença entre o valor de setpoint h_sp e o sinal medido do nível de líquido dentro do tanque, h, é utilizada pelo controlador que, de acordo com uma lei de controlo adequada, determinará o sinal de comando que acciona a válvula de modo a obter um erro nulo.

Figura 2: Diagrama de blocos simplificado do sistema de controlo de nível no tanque.

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Sistema em ciclo fechado

Esta sequência de acções e o correspondente fluxo de informação que lhe está associado, perpetua-se ao longo do tempo, num ciclo ou malha fechada tal como ilustra o diagrama de blocos da Figura 2. Uma observação atenta deste diagrama revela que, a partir do sinal erro ε o controlador actua sobre uma válvula com um sinal de comando c, cujo efeito se repercute na altura do líquido dentro do tanque – sinal h –, informação que, por intermédio de um medidor de nível, é reenviada ao controlador. Este repete o procedimento anterior, em que, com base num novo valor do erro irá ajustar o sinal c, e assim sucessivamente até o sistema estabilizar com um erro estacionário (offset) nulo. Este é, exposto de forma relativamente simples, o funcionamento subjacente a um sistema de controlo feedback.

Figura 3: Feedback negativo. Evolução do sistema perante uma perturbação em degrau na variável F0, em t = 2,5min, com uma amplitude de −6 × 10⁻³ m3 s⁻¹. Controlador PI com Kc = −0,04m² s⁻¹ e τ_I=930s.

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Feedback negativo ou feedback positivo?

Esse funcionamento será correcto se o sistema tiver sido configurado com um mecanismo de feedback negativo. Isto é, qualquer que seja a perturbação externa – por exemplo, uma alteração em degrau no valor da variável de perturbação ou de carga F₀, com uma amplitude de −6 × 10⁻³ m³ s⁻¹ em t = 2,5min – o seu efeito no nível do tanque (diminuição do nível) deverá ser contrariado (aumentar o nível) – feedback negativo (Figura 3) – e nunca reforçado (diminuir o nível) – feedback positivo (Figura 4) –, por forma a que h não se afaste de h_sp.

Figura 4: Feedback positivo. Evolução do sistema perante uma perturbação em degrau na variável F0, em t = 2,5min, com uma amplitude de −6 × 10−3 m3 s−1. Controlador PI com K_c = +0,04m² s⁻¹ e τ_I = 930 s. Neste caso o mecanismo de controlo não funciona correctamente. O sistema é desligado quando o tanque fica vazio, h = 0.

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Mecanismo de feedforward

Num mecanismo de feedback, o controlador actua apenas em consequência da alteração ocorrida na variável controlada h,  independentemente da fonte de perturbação. Numa abordagem mais elaborada, poder-se-ia antecipar a variação causada por alterações na variável de perturbação F₀ se se monitorizasse a sua evolução. Essa informação permitiria ao controlador actuar imediatamente na válvula ainda  antes do nível sofrer qualquer variação significativa. Em geral, esta estratégia de controlo antecipativo – feedforward control na literatura  anglo-saxónica – é, mais do que uma alternativa, um complemento ao mecanismo de controlo feedback.

A presença na natureza deste mecanismo de feedforward é também bastante comum. Um exemplo dessa realidade é revelado no seguinte texto:

Numa célula o mecanismo de feedback ocorre quando há excesso ou escassez de uma substância desejada dentro da mesma; a célula deve então regular de alguma forma a linha de produção que gera essa substância. O mecanismo de feedforward também envolve a regulação de uma linha de produção, que não é efectuada em função da quantidade presente de produto final; em vez disso, baseia-se na quantidade de um dado precursor do produto final dessa linha de produção.
Adaptado de: Douglas R. Hofstadter (1989). Feedback and Feedforward. In: GÖDEL, ESCHER, BACH: An Eternal Golden Braid, Vintage Books, NY, pág. 544

Ainda que a estratégia de controlo antecipativo seja apelativa por esta razão, normalmente a sua implementação requer um maior esforço de desenvolvimento, nomeadamente um modelo matemático que preveja razoavelmente bem o efeito da variável perturbadora na variável controlada. No caso do exemplo em análise, seria necessário desenvolver um modelo capaz de prever a evolução de h em função de F₀. Ter-se-ia assim a possibilidade de implementar uma estratégia de controlo de feedforward, complementar à de controlo feedback anteriormente descrita, que permitiria compensar de forma mais efectiva as alterações ocorridas em F₀.

Por outro lado, a principal motivação para manter, ainda assim, a estrutura de controlo feedback em simultâneo com a de feedforward deve-se ao  facto de a primeira ser, de um modo geral, uma solução mais robusta, independente da fonte de perturbação e com um maior grau de tolerância para com as incertezas associadas ao modelo matemático que descreve o comportamento dinâmico do sistema.

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Lei de controlo

A lei de controlo a adoptar para um dado sistema de controlo feedback poderá ser inspirada num método muito simples. No caso do exemplo em  análise poder-se-ia adoptar a seguinte estratégia: quando h atinge um valor 5% superior ao valor de setpoint, h_sp, abre-se completamente a válvula. Por outro lado, quando o nível atinge um valor 5% abaixo do valor de setpoint, fecha-se completamente a válvula (Figura 5).

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Controlo on-off

Esta estratégia de controlo on-off é relativamente simples e robusta, encontrando-se em inúmeras aplicações tecnológicas do dia-a-dia, por exemplo, em diversos electrodomésticos, tais como aquecedores a óleo, etc. Todavia, é impensável controlar a altitude e a velocidade de um avião comercial com uma lei de controlo desta natureza. Tal como referido anteriormente, a unidade a jusante do tanque (Figura 1), exige que a variabilidade do caudal que a alimenta, F₁, seja a mínima possível. Para isso, é necessário dispor de uma política de controlo mais refinada (e.g.,  Figura 3) e, consequentemente, mais elaborada do que aquela que é proporcionada por um controlador do tipo on-off.

Figura 5: Controlador on-off. Evolução do sistema perante uma perturbação em degrau na variável F₀, em t = 2,5min, com uma amplitude de −6 × 10⁻³ m³ s⁻¹.

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Lei de controlo PID – uma história de sucesso

Nos anos 30 deu-se o início da comercialização de controladores com modos de acção Proporcional, Integral e Derivada, identificados pelo acrónimo PID. A sua disseminação na indústria e nos recursos tecnológicos de que a humanidade tem vindo a usufruir, foi fortemente impulsionada nos anos 60 com o aparecimento dos computadores e pela entrada na era digital durante a década de 80. A lei de controlo subjacente à tecnologia PID é matematicamente representada por:

onde c é o sinal de comando, é valor nominal do sinal de comando, ε é o erro, e t representa o tempo. Os parâmetros do controlador PID são: o ganho proporcional K_c, a constante de tempo do modo de acção integral τI e a constante de tempo do modo de acção derivada τD. Estes parâmetros são ajustáveis, influenciando a forma como o controlador PID interage com o  sistema e, consequentemente, o modo como este se comporta.

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Lei de controlo PID digital

A implementação digital da expressão matemática anterior, contínua no domínio do tempo, requer a sua discretização. São várias as fórmulas digitais que são adoptadas para implementar a lei de controlo PID num computador ou num microprocessador. A versão discreta aqui adoptada no exemplo de simulação do controlo de nível do tanque é identificada por “algoritmo de velocidade”:

onde Δt é o intervalo de intervalo que traduz, neste caso, a periodicidade com que o controlador calcula uma nova ordem de comando. O indíce k representa o instante de tempo e corresponde ao instante em que o tempo tem o valor t unidades de tempo. De um modo genérico, na fórmula anterior k representa o instante de tempo mais recente em que foi efectuado o cálculo de c e, tal como se pode verificar, esse cálculo requer uma memória do erro nos dois instantes anteriores, ε_k-1 e ε_k-2.

Figura 6: Alguns cálculos e apontamentos no âmbito do projecto do controlador PID do sistema de controlo feedback do nível do tanque. O comportamento dinâmico do nível, h, em função da variável manipulada, F₂, é aproximado a um modelo de primeira ordem com atraso. Para uma descrição mais detalhada das metodologias subjacentes ao projecto de controladores PID consultar, por exemplo, a referência [10].

A selecção criteriosa do parâmetro Δt é um aspecto fundamental para o sucesso do projecto de um sistema de controlo digital. Tal como sublinhado na Figura 6, a escolha de Δt, bem como a selecção dos parâmetros K_c, τI e τD são efectuadas com base no conhecimento das características dinâmicas do sistema que se pretende controlar.

Normalmente, é possível expressar esse conhecimento em termos de modelos matemáticos que descrevem o comportamento dinâmico do sistema. Os parâmetros são assim seleccionados mediante vários critérios de decisão, sendo que o da garantia de estabilidade dinâmica do sistema sob controlo, assume uma importância proeminente, uma vez que dele dependem a integridade e a segurança da instalação industrial.

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Modo de acção P

O modo de acção proporcional (P) é o que mais influência tem no sistema, na medida em que é mais rápido a actuar quando se verifica uma  alteração na variável controlada. Todavia observa-se um fenómeno interessante, que se prende com a impossibilidade física do sistema em alcançar o valor desejado ou setpoint em certas circunstâncias. Este erro estacionário ao longo do tempo que o controlador, a actuar apenas com o modo de acção proporcional – controlador P –, não consegue anular (Figura 7), é designado por desvio estacionário ou offset.

Figura 7: Controlador apenas com modo de acção P, com K_c = −0,04m² s⁻¹. Evolução do sistema perante uma perturbação em degrau na variável  F₀, em t = 2,5min, com uma amplitude de −6 × 10⁻³ m³ s⁻¹.

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Modo de acção I

Há situações em que a presença de um offset é inaceitável. No exemplo em causa, operar com um caudal F₁ mais baixo, ainda que não esteja a variar ao longo do tempo, está fora das especificações de natureza económica que foram estabelecidas para o respectivo processo de produção. Este tipo de dificuldade é ultrapassada mediante a utilização do modo de acção integral (I). Tal como ilustrado na Figura 3, o controlador PI consegue agora, ao fim de algum tempo, levar o nível do tanque para o valor de setpoint. Enquanto que a acção P contribui com uma reacção rápida perante o afastamento do nível do valor desejado, a acção I procura permanentemente eliminar o offset graças ao cálculo do integral do erro desde o instante inicial, quando se ligou o controlador em t = 0, até ao instante presente.

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Modo de acção D

Por último, o modo de acção derivada (D) procura dar resposta a situações extremas, naquelas em que variáveis processuais podem, em  determinadas condições de operação, exibir variações muito rápidas que facilmente coloquem em causa a qualidade do produto final e/ou a  segurança da instalação industrial.

Um exemplo de motivação para a utilização do modo de acção D, recursivamente reportado na literatura de controlo de processos químicos, é o do caso do controlo da temperatura de um reactor químico no qual decorre uma reacção química muito exotérmica. Se, por exemplo, se observar que a temperatura exibe uma subida de 6 ºC em apenas 2min, é nessário agir rapidamente no sistema de arrefecimento do reactor para contrariar o súbito aumento de temperatura.

Por outras palavras, a taxa de variação da temperatura – e por conseguinte, a taxa de variação do erro – é muito significativa (+3 ºC/min), deixando antever a possibilidade da ocorrência, a curto prazo, por exemplo, de um aquecimento excessivo da mistura reagente, que pode ou não levar a uma explosão do reactor, caso não seja efectuada uma rápida intervenção de modo a arrefecê-lo.

É exactamente esse o papel do modo da acção derivada que, tal como se pode observar na fórmula da lei de controlo PID no domínio contínuo, tem em conta uma medida da taxa de variação do erro ao longo do tempo, representada pelo termo matemático da derivada. Se bem que a acção D é,  nestes aspectos operacionais, bastante promissora, na prática não é muitas vezes implementada em virtude da sua sensibilidade ao ruído (oscilações de alta frequência) do sinal medido da variável controlada. Em geral, a sua implementação requer uma abordagem mais cuidadosa e rigorosa para que se possa tirar partido do seu potencial (Figura 8).

Figura 8: Controlador PID, com Kc = −0,04m² s⁻¹, τI= 930 s e τD= 29 s. Evolução do sistema perante uma perturbação em degrau na variável F₀,  em t = 2,5min, com uma amplitude de −6 × 10⁻³ m³ s⁻¹.

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Referências

[1] Åström, K. J., T. Hägglund. Automatic tuning of PID controllers, ISA, Research Triangle Park, NC, 1988.
[2] Åström, K. J., T.Hägglund. PID controllers: Theory, Design, and Tuning, 2nd ed., ISA, Research Triangle Park, NC, 1995.
[3] Åström, K. J., T. Hägglund, "The future of PID control", Control Engineering Practice, 9, 2001, 1163-1175.
[4] Åström, K. J., T. Hägglund. Advanced PID Control, ISA - The Instrumentation, Systems, and Automation Society, 2005.
[5] Coughanowr, D. R. Process SystemsAnalysis and Control, 2nd Ed., McGraw-Hill International, Singapore, 1991.
[6] Friedland, B. Control System Design – An Introduction to State-Space Methods, McGraw-Hill International, Singapore, 1987.
[7] Luyben, W. L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill International, Singapore, 1990.
[8] Marlin, T. E. Process Control: Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance, McGraw-Hill International, Singapore, 1995.
[9] Ogunnaike, B. A., W. H. Ray. Process Dynamics, Modeling and Control, Oxford University Press, New York, 1994.
[10] Seborg, D. E., T. F. Edgar, D. A. Mellichamp. Process Dynamics and Control, John Wiley & Sons, New York, 2004.
[11] Shinskey, F. G. Process-control systems: application, design, adjustment, 2nd Ed., McGraw- Hill, New York, 1979.
[12] Smith, C. A., A. B. Corripio. Principles and Practice of Automatic Process Control, John Wiley & Sons, New York, 1985.
[13] Stephanopoulos, G. Chemical Process Control: An Introduction to Theory and Practice, Prentice- Hall International, Englewood Cliffs, New Jersey, 1984.

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Análise de Resposta de Frequência
Sistemas de 1.^a ordem
Diagramas de Bode – Sistemas de 1.^a ordem

Diagramas de Bode – Sistemas de 2.^a ordem
Bibliografia

Análise de Resposta de Frequência

Hendrik Wade Bode (1905--1982) - © Copyright 2008 IEEE , Cortesia de IEEE

Durante os anos 30, no grupo de investigação matemática dos Laboratórios da companhia Bell Telephone (E.U.A.), Hendrik Wade Bode (1905–1982) desenvolveu o método da análise de resposta de frequência para analisar a estabilidade em ciclo fechado de sistemas de comunicação. A análise de resposta de frequência é uma metodologia peculiar que permite analisar de forma sistematizada as
características dinâmicas de um dado sistema.

No estudo do comportamento dinâmico de sistemas lineares observa-se que, quando sujeitos a entradas sinusoidais, a sua resposta é constituída por uma parte transiente – que perde importância à medida que t→∞  – e uma outra que persiste, a qual é também uma função sinusoidal. O estudo da relação entre as funções sinusoidais de entrada e de saída de um sistema é o tema central da Análise de Resposta de Frequência.

Para introduzir o tema da Análise de Resposta de Frequência parte-se do caso de estudo do comportamento dinâmico de um sistema de 1.a ordem, perante uma variação sinusoidal na variável ou sinal de entrada. Seguidamente é também descrita uma metodologia expedita para o cálculo das características de resposta de frequência de um sistema linear de qualquer ordem.

Os métodos gráficos de representação de resposta de frequência - Diagramas de Bode - aqui descritos poderão ser testados no simulador de construção do Diagrama de Bode, dada a função de transferência do sistema que se pretende analisar.

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Sistemas de 1ª ordem

Considere-se um sistema de 1.a ordem, cujo comportamento dinâmico é descrito pela função de transferência

em que K é o ganho estacionário do sistema e τ a sua constante de tempo. 

Figura 01: Representação do sistema na forma de diagrama de blocos. O comportamento dinâmico da variável de saída y em função da variável de entrada u pode ser explicado pela expressão, no domínio de Laplace, y'(s) = G(s)u'(s), onde G(s) é a função de transferência do sistema. 

Uma entrada sinusoidal no sistema pode ser representada matematicamente por  

em que A é a amplitude de oscilação, ω é a frequência de oscilação – expressa em radianos por unidade de tempo, e.g., por rad s⁻¹ – do sinal de entrada e é o valor médio em torno do qual a variável de entrada u oscila. É conveniente expressar as variáveis de entrada e de saída do sistema em termos de variáveis desvio, e , respectivamente, em que e são valores correspondentes a um ponto de operação do sistema em estado estacionário. A representação do comportamento dinâmico sinusoidal de u no domínio de Laplace é dada por 

Assim, a resposta do sistema – variável y – a uma perturbação sinusoidal na variável de entrada é expressa no domínio de Laplace por 

Efectuando uma expansão em fracções parciais resulta 

Aplicando o operador transformada inversa de Laplace e recorrendo a uma entidade trigonométrica, obtém-se a expressão matemática no domínio do tempo que descreve a evolução da variável de saída do sistema, i.e., a resposta transiente, 

em que Φ = −tan⁻¹(τω). O primeiro termo da equação anula-se à medida que t→∞. Por conseguinte, decorrido algum tempo após o início da perturbação sinusoidal, a resposta de frequência do sistema pode ser caracterizada apenas com o segundo termo da equação, tal que

Por conseguinte, o comportamento dinâmico do sistema induzido pela perturbação sinusoidal é também ele oscilatório. Oscila com uma amplitude B e à mesma frequência, ω, da do sinal de entrada. Contudo, apresenta um ângulo de fase Φ que representa uma medida do desfasamento do sinal de saída y em relação ao sinal de entrada u. Dividindo B por A obtém-se a razão de amplitudes, RA,

 É também usual definir a razão de amplitudes normalizada RA_N, que resulta da divisão de RA por K 

Por exemplo, a razão de amplitudes proporciona informação sobre se o sistema se comporta como um filtro, RA_N < 1, ou se se comporta como um amplificador, RA_N > 1. Estas duas propriedades da resposta de frequência, ângulo de fase e razão de amplitudes, permitem caracterizar a resposta de um dado sistema em função da frequência do sinal de entrada.

Figura 02: Comportamento dinâmico de um sistema de primeira ordem com K = 1 e τ = 1 s. Evolução de y perante uma perturbação sinusoidal na variável de entrada u com uma amplitude de oscilação A = 1,5. Ensaio a): ω = 0,09 rad s⁻¹; Ensaio b): ω = 0,50 rad s⁻¹. Valores do estado estacionário de referência em torno do qual as variáveis oscilam: e . 

Num sistema de primeira ordem, quando o período de oscilação do sinal de entrada u é grande – i.e., quando a frequência de oscilação é muito pequena, ω = 2π/P, sendo P o período de oscilação – em comparação com a constante de tempo característica do sistema, τ, a evolução do sinal de saída y é semelhante à da do sinal de entrada u. Ou seja, diz-se que o sinal de saída está em fase com o de entrada (Figura 2, Ensaio a)). Neste caso verifica-se que à medida que a frequência de oscilação diminui Φ → 0^o (Figura 3).

Por outro lado, à medida que o período de oscilação do sinal de entrada diminui – i.e., à medida que a frequência de oscilação aumenta – a amplitude de oscilação do sinal de saída diminui (Figura 2, Ensaio b)). Para além disso, verifica-se que, num sistema de primeira ordem, o ângulo de fase tende assimptoticamente para −90^o à medida que aumenta a frequência de oscilação (Figura 3).

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Diagramas de Bode - Sistemas de 1ª ordem

A informação obtida relativamente à resposta de frequência dos sistemas pode ser condensada num Diagrama de Bode (Figura 3). Nele se representa a razão de amplitudes normalizada e o ângulo de fase em função da frequência de oscilação. Normalmente, a representação de RA_N em função da frequência é efectuada num gráfico log-log e a de Φ num gráfico semi-logarítmico. Na Figura 3 é representado o diagrama de Bode típico de um sistema estável de primeira ordem com um ganho estacionário K = 1 e uma constante de tempo τ = 1 s.

Os diagramas de Bode proporcionam informação que permite efectuar uma análise rápida das características da resposta de frequência do sistema e, consequentemente, das características dinâmicas do sistema. O recurso a esta ferramenta de análise é também comum no contexto da avaliação da estabilidade de sistemas em ciclo fechado – e.g., critério de estabilidade de Bode.

Figura 03: Diagrama de Bode de um sistema de primeira ordem com τ = 1 s. Assimptotas de baixa e alta frequência e frequência de canto. 

Os gráficos do diagrama de Bode poderão ser traçados rigorosamente, recorrendo à capacidade de cálculo de um computador ou de forma aproximada, traçando-os manualmente. A representação aproximada para um sistema de primeira ordem pode ser obtida a partir da análise das equações para o cálculo de RA_N e de Φ anteriormente apresentadas. Para baixas frequências, ω → 0, conclui-se que RA_N → 1 e Φ → 0^o. Por outro lado, para altas frequências, ω → ∞, RA_N  → 0 e Φ → −90^o (Figura 3).
O gráfico de RA_N em função de ω (ou de ωτ) apresenta então uma assimptota horizontal de baixas frequências e uma assimptota de altas frequências com declive -1 (Figura 3). A assimptota de altas frequências é descrita pela equação log(RA_N) = log(1) − log(ωτ). À frequência em que as duas assimptotas se intersectam é dado o nome de frequência de corte, ou de canto, ω_c (Figura 3). Nesse ponto ω_c = 1/τ, o que corresponde a ter 

Assim, para esboçar os gráficos do diagrama de Bode de um sistema de primeira ordem, poder-se-á começar por localizar ω_c no gráfico de RA_N e traçar à sua esquerda uma assimptota horizontal e à sua direita uma assimptota com declive -1.

O gráfico de Φ em função de ω (ou de ωτ) apresenta duas assimptotas horizontais, uma de alta e outra de baixas frequências. A ω_c corresponde neste gráfico o valor de Φ = −tan⁻¹(1) = 45^o (Figura 3). Para esboçar este gráfico pode-se, por exemplo, começar por localizar o valor de Φ para
ω_c. De seguida traçam-se as duas assimptotas, uma para Φ = 0^o e uma outra para Φ = −90^o.

Exemplo 1

Um tanque é alimentado por uma corrente líquida, F₀, cujo valor do caudal tem um comportamento oscilatório com uma frequência 0,02 rad s⁻¹ e com uma amplitude de oscilação de 10,0 dm³s⁻¹. O tanque tem uma área de secção recta A_t = 5m². O caudal de saída, F₁, varia linearmente com a altura de líquido no tanque, h, e a válvula de saída introduz uma resistência, R_v, de 100 sm⁻². Construa o diagrama de Bode relativo ao comportamento dinâmico da variável de saída F₁ em função da variável de entrada F₀, para o intervalo de frequências de oscilação de 10⁻⁴ a 10⁻¹ rad s⁻¹, e assinale nos gráficos o ponto correspondente a ω = 0,02 rad s⁻¹.

Figura 04: Tanque de armazenamento de líquidos.

Solução

Do balanço de massa ao líquido do tanque e assumindo que o valor da resistência ao escoamento do líquido através da válvula é praticamente constante na gama de valores de operação em causa, e que a massa volúmica não varia, obtém-se (em variáveis desvio) 

A função de transferência relevante para o problema é 

Isto é, o comportamento dinâmico de F₁ em função de F₀ é descrito por uma função de transferência de primeira ordem com K = 1 e τ = A_tR_v ≡ 500 s.

Figura 05: Variação da razão das amplitudes dos sinais F₁ e F₀ e do ângulo de fase de F₁ em relação a F₀ em função da frequência de oscilação. 

Após traçar o diagrama de Bode (Figura 5), localiza-se o ponto correspondente à frequência de oscilação em que o sistema está a operar – neste caso é 0,02 rad s⁻¹ –, para o qual se tem 

Por conseguinte, quando o sistema estiver a operar há já bastante tempo, o caudal de saída apresentará um comportamento sinusoidal, com a mesma frequência da do caudal de entrada, desfasado em −84,3^o e com uma amplitude de oscilação de 1,00 dm³s⁻¹.

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Diagramas de Bode de sistemas de ordem mais elevada

Tirando partido das propriedades de números complexos, é possível demonstrar que, para uma função de transferência de qualquer ordem G(s), estável, fazendo s = jω e rearranjando a função de transferência na forma 

as características de resposta de frequência podem ser obtidas a partir de 

Considere-se, por exemplo, a função de transferência genérica de um sistema de 1.a ordem. Para s = jω, tem-se 

Multiplicando o numerador e o denominador pelo número complexo conjugado do denominador, obtém-se 

de onde resulta que 

Obtém-se assim o mesmo resultado que anteriormente, não tendo sido necessário o cálculo da resposta transiente do sistema. A função de transferência de um sistema na forma G(jω) é um número complexo de módulo e ângulo . O recurso à representação de um número complexo na forma polar permite ainda uma utilização mais vantajosa da função de transferência na forma G(jω), 

Considere-se um processo com função de transferência genérica 

Para s = jω,  

É possível demonstrar que

Onde G_k(jω)=R_k +jI_k e

com k = a, b, c, ..., 1, 2, 3,... A utilização de funções de transferência factorizadas de forma apropriada permite obter as características de resposta de frequência de uma forma mais expedita do que nos casos em que é efectuada a sua racionalização, pois isso normalmente origina expressões matemáticas mais difíceis de manusear.

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Diagramas de Bode - Sistemas de 2ª ordem

Considere-se a função de transferência genérica para um sistema de 2ª ordem 

onde K é o ganho estacionário do sistema, τ a sua constante de tempo e ζ o factor de amortecimento. Para 0 < ζ < 1 diz-se que o sistema é sub-amortecido, para ζ = 1 o sistema diz-se com amortecimento crítico e para ζ > 1 o sistema é sobre-amortecido. A resposta de frequência deste sistema é caracterizada por 

As características de resposta de frequência de um sistema de segunda ordem quando ω → 0, são idênticas às de um sistema de primeira ordem, isto é RA_N  → 1 e Φ → 0^o. Para altas frequências, quando ω → ∞, as características da resposta são tais que RA_N ≈ 1/(τω)² e Φ ≈ −180^o (Figura 6). A assimptota de altas frequências de RA_N é caracterizada por log(RA_N) = log(1)−2 log(ωτ), ou seja, uma recta com declive -2.

Na Figura 6 são apresentadas as características de resposta de frequência de um sistema sobreamortecido e de outro com amortecimento crítico.

Figura 06: Diagramas de Bode de um sistema de segunda ordem sobre-amortecido (ζ = 2) e com amortecimento crítico (ζ = 1), com τ = 1 s. 

Os sistemas de segunda ordem sobre-amortecidos e com amortecimento crítico apresentam, para qualquer frequência, uma razão de amplitudes normalizada inferior ou igual a 1. Ou seja o sinal de saída poderá vir atenuado mas não amplificado em relação ao sinal de entrada. Nos sistemas de segunda ordem com comportamento sub-amortecido (Figura 7) observa-se um valor máximo de RA_N  para os casos em que 0 < ζ < 0,707. Este valor máximo da razão de amplitudes ocorre na frequência de ressonância, ω_r, 

tal que 

Figura 07: Diagramas de Bode de sistemas de segunda ordem sub-amortecidos, com τ = 1 s.  

Exemplo 2

Considere o tanque do exemplo 1 em cascata com um segundo tanque a jusante, com uma área de secção recta de 3m² e uma resistência da válvula de 100 sm⁻². Construa o diagrama de Bode relativo ao comportamento dinâmico da variável de saída F₂ em função da variável de entrada F₀, para o intervalo de frequências de oscilação de 10⁻⁴ a 10⁻¹ rad s⁻¹. Assuma que o sinal F₀ oscila com uma amplitude de 10,0 dm³s⁻¹ e uma
frequência ω = 0,02 rad s⁻¹. Assinale nos gráficos o ponto correspondente a estas condições de operação.

Figura 08: Bateria de dois tanques em cascata.

Solução

Dos balanços de massa ao líquido no sistema de tanques e assumindo que a resistência ao escoamento do líquido através das válvulas é praticamente constante na gama de valores de operação em causa, em variáveis desvio obtém-se

A função de transferência relevante para o problema é 

Por conseguinte, o comportamento dinâmico do sinal de saída F₂ em função do sinal de entrada F₀ é descrito por uma função de transferência de segunda ordem com K = 1 e

Figura 09: Variação da razão das amplitudes dos sinais F₂ e F₀ e do ângulo de fase de F₂ em relação a F₀ em função da frequência de oscilação.

As condições em que o sistema de dois tanques está a operar com ω = 0,02 rads⁻¹ corresponde a (Figura 9) 

Tal como seria previsível, comparativamente ao caudal F₁ (Figura 5), e perante a mesma perturbação em F₀, o caudal de saída F₂ exibe um comportamento dinâmico mais amortecido, com uma amplitude de oscilação de 0,164 dm³s⁻¹ e um ângulo de fase de −165^o.

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Bibliografia

Ogunnaike, B. A., Ray, W. H. (1994). “Process Dynamics, Modeling, and Control”, Oxford University Press, NY
Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A. (2004). “Process Dynamics and Control”, John Wiley & Sons, NY
Stephanopoulos, G. (1984). “Process Control: An Introduction to Theory and Practice”, Prentice- Hall International, Englewood Cliffs, NJ

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