Fundamentos

I.1 Distribuição de Tempos de Residência (DTR)
I.2 Funções de Distribuição de Tempos de Residência
I.3 Funções de Distribuição Normalizadas

Os dois tipos de reactores ideais contínuos: reactor pistão e reactor perfeitamente agitado, apresentam dois casos extremos de escoamento. Num reactor do tipo pistão todas as moléculas permanecem no sistema o mesmo intervalo de tempo desde o instante em que aí entram até ao momento em que dele saem ou seja, todas as moléculas têm o mesmo tempo de residência ou tempo de passagem. No reactor perfeitamente agitado o tempo de residência das moléculas pode ser um qualquer no intervalo entre zero e infinito. Todavia, nos sistemas reais podem acontecer desvios a estes tipos de escoamento.

Uma das anomalias tem a ver com a ocorrência de zonas de escoamento preferencial, o que leva a que alguns elementos de fluido atravessem o sistema muito mais rapidamente que os outros, registando-se curto-circuito, Figura 1.a. Por outro lado, também pode acontecer a formação de zonas mortas ou de estagnação que está ilustrada na Figura 1.b. Do que foi dito resulta que as moléculas têm tempos de passagem diferentes do esperado. O conhecimento da distribuição de tempos de residência é uma informação que permite interpretar e prever o comportamento de sistemas contínuos reais. De salientar que em equipamentos distintos, ou mesmo muito diferentes, podem existir distribuições de tempos de residência semelhantes, e que esta distribuição caracteriza o tipo de mistura atingida no sistema.

Figura 1. Escoamento não ideal em equipamento: (a) Curto-circuito (à esquerda); (b) Zonas mortas ou de estagnação (à direita)

A determinação da distribuição de tempos de residência recorre à experimentação e à introdução de um marcador que não deve alterar as propriedades físicas da mistura nem interferir com a dinâmica do escoamento. A técnica de estímulo/resposta utilizada nestes estudos, Figura 2, pode recorrer a diferentes tipos de estímulos sendo mais comuns as perturbações em degrau e em impulso. O marcador é introduzido no reactor no instante t=0 e a análise da composição da corrente de saída permite conhecer a concentração do marcador no efluente ao longo do tempo.

Figura 2. Aplicação da técnica estímulo/resposta para conhecer a distribuição de tempos de residência.

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Neste capítulo vamos considerar que o marcador entra no sistema uma só vez e sai também de uma só vez ou seja, não há turbilhões ou difusão junto da entrada e da saída que levem o marcador a entrar/sair e voltar a sair/entrar. Assim, num sistema atravessado por um caudal constante, a partir do registo da concentração de marcador no efluente, C_s(t), calcula-se a função E(t) - função densidade (de probabilidade) de tempos de residência:

(1)

O integral no denominador da Eq. 1 representa a área abaixo da curva C_s(t), sendo directamente proporcional à quantidade de marcador introduzida.

De acordo com a definição de E(t), a fracção de marcador que permaneceu no sistema no intervalo de tempo t₂-t₁ é dada por, e no intervalo t=0 a t=∞ todo o marcador sai do sistema, logo:

(2)

Para além de ser útil conhecer a probabilidade de um tempo de residência estar compreendido num dado intervalo de tempo, pode ser igualmente importante conhecer a probabilidade de o tempo de residência ser inferior a um dado valor. A função F(t) - função de distribuição de tempos de residência, também conhecida como curva F de Danckwerts, permite obter essa informação, sendo calculada através do integral cumulativo de E(t):

(3)

Diferenciando a função F(t) obtém-se:

(4)

o que explica como a função F(t)  pode ser obtida de modo gráfico a partir de E(t) como a Figura 3 ilustra.

Figura 3. Relação entre as curvas E(t) e F(t).

No estudo da distribuição de tempos de residência o tempo de residência médio, t_res, é um parâmetro importante, uma vez que corresponde ao tempo médio que as moléculas que deixam o sistema aí permaneceram. Este pode ser calculado a partir do momento de primeira ordem da função E(t)

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estando o seu significado ilustrado na Figura 4.

Figura 4. Tempo de residência médio.

Para qualquer sistema contínuo o tempo de passagem no sistema, τ, depende do volume do sistema, V, e do caudal volumétrico que o atravessa, Q_v:

(6)

 A comparação do tempo de residência médio, t_res, com o tempo de passagem no sistema, τ, permite verificar se o escoamento é ideal (quando τ=t_res), ou identificar o tipo de desvio ao escoamento ideal. Se τ<t_res há predominância de curto-circuito, se τ>t_res acontece a formação de zonas mortas.

Conhecido o tempo de residência médio, t_res, é possível definir momentos em torno da média. A variância da distribuição, σ², permite conhecer a dispersão da distribuição em torno do seu valor médio:

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As funções de distribuição de tempos de residência são frequentemente apresentadas na sua forma normalizada. Para a sua normalização utiliza-se o tempo médio de residência ou o tempo de passagem, Eqs. 5 ou 6, definindo o tempo de residência adimensional, θ:

    ou   

A função densidade de tempos de residência adimensional, E(θ) vem

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e, uma vez que as probabilidades não se alteram

(9)

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